Question

19．已知焦点在x轴上的土元D：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，F₁，F₂分别为左、右焦点，过点P（3，0）作直线交椭圆D于A，B（B在P，A两点之间）两点，且F₁A∥F₂B，A关于原点O的对称点C．
（1）求椭圆D的方程；
（2）求直线PA的方程；
（3）过F₂任作一直线交过A，F₁，C三点的圆于E，F两点，求△OEF面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程及离心率列式求得m=2，则椭圆的方程可求；
（2）设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）及AB所在直线方程，联立方程组利用一元二次方程根与系数关系求得A，B横坐标的和与积，再由F₁A∥F₂B，得到$\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PB}$，进一步求解得到直线的斜率，则直线PA的方程可求；
（3）由（2）及已知求得A，C的坐标设过A，F₁，C三点的圆为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标求得圆的方程，由弦长公式求得$|EF|=2\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{1}{4（1+{n}^{2}）}}=\sqrt{\frac{9{n}^{2}+8}{1+{n}^{2}}}$．由点到直线的距离公式求得原点O到直线EF的距离为
d=$\frac{1}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$．代入三角形的面积公式，换元后利用配方法求得圆面积的最大值，则△OEF面积的取值范围可求．

解答 解：（1）∵椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{\sqrt{3-m}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得：m=2．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B的坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1①}\\{y=k（x-3）②}\end{array}\right.$，
把②代入①得：（2+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{27{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$．
∵F₁A∥F₂B，∴$\frac{PB}{PA}=\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PB}$，
∴（x₁-3，y₁）=2（x₂-3，y₂），即x₁-2x₂=-3．
解$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}}\\{{x}_{1}-2{x}_{2}=-3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9{k}^{2}-2}{2+3{k}^{2}}}\\{{x}_{2}=\frac{9{k}^{2}+2}{2+3{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
代入${x}_{1}{x}_{2}=\frac{27{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，得${k}^{2}=\frac{2}{9}$，即$k=±\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直线PA的方程为：$y=±\frac{\sqrt{2}}{3}（x-3）$；
（3）由（2）知x₁=0，即A（0，$\sqrt{2}$）（或A（0，-$\sqrt{2}$）），
∵A与C关于原点对称，∴C（0，-$\sqrt{2}$）（或C（0，$\sqrt{2}$）），
设过A，F₁，C三点的圆为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}E+F+2=0}\\{-\sqrt{2}E+F+2=0}\\{-D+F+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{E=0}\\{F=-2}\\{D=-1}\end{array}\right.$．
∴圆的方程为x²+y²-x-2=0．
设过F₂的直线EF为x=ny+1，则$|EF|=2\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{1}{4（1+{n}^{2}）}}=\sqrt{\frac{9{n}^{2}+8}{1+{n}^{2}}}$．
原点O到直线EF的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$．
∴${S}_{△OEF}=\frac{1}{2}d|EF|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9{n}^{2}+8}{（1+{n}^{2}）^{2}}}$．
令1+n²=t，则t≥1，0$＜\frac{1}{t}≤1$．
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{9}{2}）^{2}+\frac{81}{4}}＜\frac{1}{2}\sqrt{-（1-\frac{9}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}=\sqrt{2}$．
∴$0＜{S}_{△OEF}≤\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于（3）中求圆的面积的最大值，换元配方是关键，属难度较大题目．