Question

11．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线的方程为x²=2py，由抛物线的定义和已知条件可得p的方程，解p可得；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），x₁≠0，Q（x₂，y₂），由切线和垂直关系以及韦达定理可得y₁的方程，解y₁进而可得x₁，可得符合题意的点P．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线的方程为x²=2py（p＞0），
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
由抛物线定义可知y_A+y_B+p=8，
又AB中点到x轴的距离为3，
∴y_A+y_B=6，∴p=2，
∴抛物线的标准方程是x²=4y；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），x₁≠0，Q（x₂，y₂），
则x²=4y在P处的切线方程是y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-y₁，
直线PQ：y=-$\frac{2}{{x}_{1}}$x+2+y₁代入x²=4y得x²+$\frac{8}{{x}_{1}}$x-4（2+y₁）=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{8}{{x}_{1}}$，x₁x₂=-8-4y₁，
∴x₂=-$\frac{8}{{x}_{1}}$-x₁，y₂=$\frac{4}{{y}_{1}}$+y₁+4，
而$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=y₁²-2y₁-$\frac{4}{{y}_{1}}$-7=0，
整理可得y₁³-2y₁²-7y₁-4=0，（y₁＞0），
变形可得y₁³+y₁²-3y₁²-7y₁-4=0，
可得y₁²（y₁+1）-3y₁²-7y₁-4=0，
可得y₁²（y₁+1）-（3y₁²+7y₁+4）=0，
即y₁²（y₁+1）-（y₁+1）（3y₁+4）=0，
可得（y₁+1）（y₁²-3y₁-4）=0，
可得（y₁+1）（y₁+1）（y₁-4）=0
即（y₁+1）²（y₁-4）=0，
解得y₁=4，故存在点P（±4，4）满足题意．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，涉及抛物线的标准方程和韦达定理的应用，属中档题．