Question

2．如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=$\sqrt{2}$，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）若M是侧棱PB中点，求证：CM∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若M是侧棱PB中点，根据线面平行的判定定理即可证明CM∥平面PAD；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

解答 证明：（1）在梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=$\sqrt{2}$，AD⊥PB，
∴AB=2，PA=1，AD=1，
取PA的中点N，连接MN，AN，
则MN∥AB∥CD，且MN=CD=1，
则四边形MNDC为平行四边形，
则CM∥DN，
∵CM?平面PAD，DN?平面PAD，
∴CM∥平面PAD；
（2）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
面PAD∩面ABCD=AD，PA?面PAD
∴PA⊥面ABCD，
建立以A为坐标原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
则$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DP}$=（-1，0，1），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-x+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
直线PB与平面PCD所成角的正弦值sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$|=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定，以及直线和平面所成角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决线面所成角的常用方法．