Question

12．设函数f（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）当p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{2e}{x}$，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数来判断函数的单调区间，即可求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）先假设存在，因为g（x）=$\frac{2e}{x}$，若在[1，e]上存在实数x，使得f（x）＞g（x），在区间[1，e]上分别求出f（x）和g（x）的最大值和最小值，然后讨论求解．

解答 解：（I）由已知f（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx，得f′（x）=$\frac{p{x}^{2}-2x+p}{{x}^{2}}$，
p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，f′（x）=$\frac{（x-\sqrt{3}）（\sqrt{3}x-1）}{2{x}^{2}}$．
令f′（x）=0，可得x=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
函数在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\sqrt{3}$，+∞）上为单调增函数，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$）上为单调减函数，
∴函数的极大值为2ln$\sqrt{3}$-1，极小值为1-2ln$\sqrt{3}$；
（II））∵g（x）=$\frac{2e}{x}$，在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①p≤0时，由（2）知f（x）在[1，e]递减⇒f_max（x）=f（1）=0＜2，不合题意
②0＜p＜1时，由x∈[1，e]⇒x-$\frac{1}{x}$∈[0，e-$\frac{1}{e}$]
∴f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx＜x-$\frac{1}{x}$-2lnx＜e-$\frac{1}{e}$-2lne=e-$\frac{1}{e}$-2＜2不合题意
③p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上是增函数，故只需f（x）_max＞g（x）_min=2，
x∈[1，e]，而f（x）_max=f（e）=p（e-$\frac{1}{e}$）-2lne，g（x）_min=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{p（e-\frac{1}{e}\\;）-2lne＞2}\\{p≥1}\end{array}\right.$，
解得p＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$．
故p的取值范围为（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）．

点评 本题主要考查对数函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．