Question

20．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱SC的中点，E在底面内的射影恰好是正方形ABCD的中心O，顶点A在截面ABD内的影射恰好是△SBD的重心G
（Ⅰ）求证：△SBD是等边三角形；
（Ⅱ）设AB=a，求二面角B-SD-C余弦值的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件证明G是△SBD的垂心，即可证明△SBD是等边三角形；
（Ⅱ）设AB=a，建立直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-SD-C余弦值的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵O，E分别是AC，SC的中点，
∴SA∥OE．
∵底面ABCD是正方形，
∴SA，AB，AD两两垂直，连接DG并延长交SB于F，
∵SO是△SBD的直线，
∴G在SO上，
∵AG⊥平面SBD，
∴AG⊥SB，
∵AD⊥SB，
∴SB⊥平面ADF，
同理SO⊥BD，BG⊥SD，
则G是△SBD的垂心，
∵G是△SBD的重心，
∴△SBD是等边三角形；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SA，AB，AD两两垂直，且SA=AB=AD，
建立如图所示的直角坐标系，
设AB=a，
则B（-a，0，a），C（a，a，0），
D（0，a，0），S（0，0，a），
则$\overrightarrow{BS}$=（-a，0，a），$\overrightarrow{BD}$=（-a，a，0），
设平面SBD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BS}•\overrightarrow{m}=-ax+az=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=-ax+ay=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，z=1，
即为$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
同理平面SCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）
∵cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+1}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴二面角B-SD-C余弦值的大小为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决线面所成角的常用方法．