Question

15．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．
（Ⅰ）求证：MN∥BC；
（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值$\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$时，求MC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）DE为△ABC的中位线，从而得到DE∥BC，然后根据线面平行的判定定理及性质定理即可得到DE∥MN，从而BC∥MN，即MN∥BC；
（Ⅱ）过B作BZ∥PA，容易说明BC，BA，BZ三条直线互相垂直，从而以B为原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，这样即可求得$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{AC}$的坐标．从而可求出平面PBC的一个法向量坐标$\overrightarrow{n}$，设直线AC与平面PBC所成角为α，根据sinα=$|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}＞|$即可求出α；
（Ⅲ）根据图形设M（0，y，z），由M点在棱BP上，便可得到$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BP}$，从而表示M为M（0，2λ，2λ），根据直线EM与直线AP所成角的余弦值$\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$，设直线EM与直线AP所成角为θ，从而通过cosθ=$|\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{AP}|}|=\frac{3\sqrt{14}}{14}$即可求出λ，从而求出M点坐标，由两点间距离公式即可求出MC．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；
∴DE∥BC，BC?平面PBC，DE?平面PBC；
∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC=MN；
∴DE∥MN；
∴MN∥BC；
（Ⅱ）如图，在平面PAB内作BZ∥PA，则根据：

PA⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；
∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；
∴$\overrightarrow{BC}=（2，0，0），\overrightarrow{BP}=（0，2，2）$，$\overrightarrow{AC}=（2，-2，0）$；
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$；
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$得：
$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}=0}\\{2{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，得x₁=0，y₁=-1；
∴$\overrightarrow{n}=（0，-1，1）$；
设直线AC和平面PBC所成角为α，则：
sinα=$|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}＞|=|\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{2}{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
又$α∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$α=\frac{π}{6}$；
即直线AC和平面PBC所成角为$\frac{π}{6}$；
（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BP}，（0＜λ＜1）$；
∴（0，y，z）=λ（0，2，2）；
∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；
∴$\overrightarrow{EM}=（-1，2λ-1，2λ），\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$；
因为直线EM与直线AP所成角的余弦值$\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$；
设直线EM和直线AP所成角为θ；
所以cosθ=$|\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{AP}|}|=\frac{4λ}{\sqrt{8{λ}^{2}-4λ+2}•2}=\frac{3\sqrt{14}}{14}$；
∴8λ²-18λ+9=0；
解得$λ=\frac{3}{4}$，或$λ=\frac{3}{2}$（舍去）；
∴M（0，$\frac{3}{2}，\frac{3}{2}$）；
∴$MC=\sqrt{4+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{34}}{2}$．

点评 考查中位线的性质，线面平行的判定定理及性质定理，面面垂直的性质定理，通过建立空间直角坐标系，利用向量解决空间直线与平面，及直线与直线所成角的问题的方法，线面角的定义及范围，以及平面法向量的定义及求平面一个法向量的方法，两向量夹角余弦的坐标公式，两点间的距离公式．