Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+1）²+y²=1，圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=1
（1）若过点（-2，0）的直线l与圆C₁交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{8}{3}$，求直线l的方程；
（2）设动圆C同时平分圆C₁的周长，圆C₂的周长，
①证明动圆圆心C在一条直线上运动；
②动圆C是否过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出直线l的方程，代入圆C₁的方程，得出A、B两点的坐标关系，计算$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值，从而求出l的方程；
（2）①设出圆心C的坐标，由题意得CC₁=CC₂，列出方程，得出动圆圆心C的轨迹方程；
②动圆C过定点，设出C（m，3-m），写出动圆C的方程，得出直线与圆的方程，构造方程组，即可求出定点的坐标．

解答 解：（1）设直线l的方程为y=k（x+2），代入（x+1）²+y²=1，得
（1+k²）x²+（4k²+2）x+4k²=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁x₂=$\frac{{4k}^{2}}{1{+k}^{2}}$；
∵点（-2，0）在C₁上，不妨设A（-2，0），
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂=$\frac{{4k}^{2}}{1{+k}^{2}}$=$\frac{8}{3}$；
解得k²=2
k=±$\sqrt{2}$；
∴l的方程为y=±$\sqrt{2}$（x+2）；
（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC₁=CC₂；
即$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{{（x-3）}^{2}{+（y-4）}^{2}}$；
化简得x+y-3=0；
即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动；
②圆C过定点，设C（m，3-m），则动圆C的半径为CM（或CN），
即$\sqrt{1{+{CC}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1{+（m+1）}^{2}{+（3-m）}^{2}}$，
∴动圆C的方程为（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²，
整理，得x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0；
由直线x-y+1=0和圆x²+y²-6y-2=0组成方程组
$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}-6y-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{3}{2}\sqrt{2}}\\{y=2+\frac{3}{2}\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{3}{2}\sqrt{2}}\\{y=2-\frac{3}{2}\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴定点的坐标为（1-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，2-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$），
（1+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，2+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）．
画出图形，如图所示

点评 本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了直线与平面的综合应用问题，考查了求点的轨迹的应用问题，是综合性题目．