Question

20．已知集合S={P|P=（x₁，x₂，x₃），x_i∈{0，1}，i=1，2，3}对于A=（a₁，a₂，a₃），B=（b₁，b₂，b₃）∈S，定义A与B的差为A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a₃-b₃|），定义A与B之间的距离为d（A，B）=$\sum_{i=1}^{3}$|a_i-b_i|．对于?A，B，C∈S，则下列结论中一定成立的是（　　）

• A． d（A，C）+d（B，C）=d（A，B）
• B． d（A，C）+d（B，C）＞d（A，B）
• C． d（A-C，B-C）=d（A，B）
• D． d（A-C，B-C）＞d（A，B）

Answer 1

分析 因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合S_n的要求．然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差．

解答 解：设A=（a₁，a₂，a₃），B=（b₁，b₂，b₃），C=（c₁，c₂，c₃）∈S
因a_i，b_i∈0，1，故|a_i-b_i|∈0，1，（i=1，2，3）a₁b₁∈0，1，
即A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a₃-b₃|）∈S
又a_i，b_i，c_i∈（0，1），i=1，2，3
当c_i=0时，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|；
当c_i=1时，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|（1-a_i）-（1-b_i）=|a_i-b_i|，
故d（A-C，B-C）=d（A，B）成立．

点评 本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S_n的，其实S_n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了．