Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，给出下列结论：①AC⊥B₁D₁；②AC₁⊥B₁C；③AB₁与BC₁所成的角为60°；④AB与A₁C所成的角为45°．其中所有正确结论的序号为①②③．

Answer 1

分析 利用直线与直线垂直的判断方法判断①的正误；
通过直线与平面垂直的判定定理证明结果，判断②的正误；
根据异面直线所成角的定义与正方体的性质可得异面直线AB₁，BC₁所成的角为60°，判断③的正误；
通过异面直线所成角求解结果，判断④的正误

解答 解：对于①，因为几何体是正方体，BD∥B₁D₁，AC⊥BD，
∴AC⊥B₁D₁；∴①正确．
对于②，B₁C⊥C₁B，B₁C⊥AB，可得B₁C⊥平面ABC₁，∴AC₁⊥B₁C，
∴②正确．
对于③，连结B₁D₁、AD₁，
得∠B₁AD₁就是异面直线AB₁，BC₁所成的角，
∵△B₁AD₁是等边三角形，∴∠B₁AD₁=60°
因此异面直线AB₁，BC₁所成的角为60°，得到③正确．
对于④，AB与A₁C所成的角，就是CD与A₁C所成的角，三角形A1CD是直角三角形，不是等腰直角三角形，所以AB与A₁C所成的角为45°不正确．∴④不正确；
故答案为：①②③．

点评 本题给出正方体中的几个结论，判断其正确与否，着重考查了正方体的性质、线面垂直与平行的判定与性质、异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题