Question

4．（1）已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，-2），C（-2，3），线段AB的中点为M，求：AB边上的中线CM所在直线的方程；
（2）已知圆心为E的圆经过点P（0，-6），Q（1，-5），且圆心E在直线l：x-y+1=0上，求圆心为E的圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意AB中点M的坐标是M（1，1），运用直线的两点式求解即可．
（2）运用中点公式，斜率公式判断得出线段PQ的垂直平分线l′的方程为：y$+\frac{11}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$），运用方程组得出圆心E的坐标是方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y+5=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$圆心坐标，半径，即可求解出圆．

解答 解：（1）由题意AB中点M的坐标是M（1，1），
中线CM所在直线的方程是$\frac{y-1}{3-1}$=$\frac{x-1}{-2-1}$，
即2x+3y-5=0．
（2）∵p（0，-6），Q（1，-5），
∴线段PQ的中点D的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{11}{2}$），
∵直线PQ的斜率为k_AB=$\frac{-5-（-6）}{1-0}$=1，
∴线段PQ的垂直平分线l′的方程为：y$+\frac{11}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$），
即x+y+5=0，
圆心E的坐标是方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y+5=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$的解，解此方程组得出$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}\right.$
∴圆心E的坐标（-3，-2），
即以E为圆心的圆的半径r=|PE|=$\sqrt{（0+3）^{2}+（-6+2）^{2}}$=5，
∴圆心为E的圆的标准方程：（x+3）²+（y+2）²=25

点评 本题考查直线与圆的方程，运用直线，圆的性质，位置关系判断求解，关键是确定圆心，半径，难度不大，属于中档题．