Question

9．如图：抛物线y²=4x的焦点为F，原点为O，直线AB经过点F，抛物线的准线与x轴交于点C，若∠OFA=135°，则tan∠ACB=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求出抛物线焦点F坐标（1，0），准线为l：x=-1，从而得到C点坐标．由题意可知直线AB的方程为y=x-1，由AB方程与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A与点B的坐标，然后利用向量来求解．

解答 解：∵抛物线方程为y²=2px=4x∴p=2
∵焦点F坐标为（$\frac{p}{2}，0$），准线l方程为x=$-\frac{p}{2}$
∴F点坐标为（1，0），准线l方程x=-1
∴C点坐标为（-1，0）
∵∠OFA=135°∴直线AB的斜率为1
∵直线AB经过点F（1，0）∴直线AB方程为y=x-1
又∵点A与点B在抛物线上
∴两方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y2=4x}\end{array}\right.$，得到x²-6x+1=0
解得A（3$+2\sqrt{2}$，2$+2\sqrt{2}$）B（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）
∴$\overrightarrow{CB}=（4-2\sqrt{2}，2-2\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{CA}=（4+2\sqrt{2}，2+2\sqrt{2}）$
∴$cos∠ACB=\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{|CA}|•|\overrightarrow{CB}|}=\frac{1}{3}$，sin∠ACB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴tan∠ACB=2$\sqrt{2}$
故答案为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查了求根公式，最后利用向量的数量积来求角的三角函数值是关键．