Question

18．已知函数f（x）=lnx-2x．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）当a＞0时，不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[1，e]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到函数的极值点，求出函数的极值，也就是最大值；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）≥-ax²+ax-2，移项后构造函数g（x）=ax²-ax+lnx-2x+2，然后对a分类求解函数g（x）在[1，e]上的最小值，由最小值大于等于0求得a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=lnx-2x，得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-2=\frac{1-2x}{x}$（x＞0），
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＞0，当x∈（$\frac{1}{2}，+∞$）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上为增函数，在（$\frac{1}{2}，+∞$）上为减函数，
故当x=$\frac{1}{2}$时，函数有最大值，等于$f（\frac{1}{2}）=-ln2-1$；
（2）当a＞0时，不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[1，e]上恒成立，即
lnx-2x≥-ax²+ax-2在x∈[1，e]上恒成立，
也就是ax²-ax+lnx-2x+2≥0在x∈[1，e]上恒成立，
令g（x）=ax²-ax+lnx-2x+2，则${g}^{′}（x）=2ax-a+\frac{1}{x}-2=\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$．
当a=2时，g′（x）≥0在[1，e]上恒成立，g（x）为增函数，
∴g（x）≥g（1）=0，即ax²-ax+lnx-2x+2≥0在x∈[1，e]上恒成立；
当0＜a＜2时，若0＜a$≤\frac{1}{e}$，在x∈[1，e]上，g′（x）≤0，g（x）为减函数，
$g（x）_{min}=g（e）=a{e}^{2}-ae+1-2e+2$，由ae²-ae+3-2e≥0，得$a≥\frac{2e-3}{{e}^{2}-e}$，此时a不存在；
若$\frac{1}{e}＜a＜1$，在x∈（1，$\frac{1}{a}$）上，g′（x）＜0，g（x）为减函数，在x∈（$\frac{1}{a}，e$）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
$g（x）_{min}=g（\frac{1}{a}）=\frac{1}{a}-1-lna-\frac{2}{a}+2$=$1-lna-\frac{1}{a}$＜0，不符合ax²-ax+lnx-2x+2≥0在x∈[1，e]上恒成立；
若1≤a＜2，在x∈[1，e]上，g′（x）≥0，g（x）为增函数，
g（x）_min=g（1）=0，此时满足ax²-ax+lnx-2x+2≥0在x∈[1，e]上恒成立；
当a＞2时，在x∈[1，e]上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
g（x）_min=g（1）=0，此时满足ax²-ax+lnx-2x+2≥0在x∈[1，e]上恒成立．
综上，满足不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[1，e]上恒成立的实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查利用导数求函数的最值，考查了不等式恒成立的求解方法，对于恒成立问题，有时可分离变量，然后构造函数求最值，有时可直接构造函数，利用导数求出函数的最值，由最小值大于等于0（或最大值小于等于0解决），该题着重考查了分类讨论的数学思想方法，属难题．