Question

8．函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}aln（x+1），x≥0\\ \frac{1}{3}{x^3}-ax，x＜0\end{array}\right.$，g（x）=e^x-1．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f （x）的极值；
（Ⅱ）当a在R上变化时，讨论函数f （x）与g （x）的图象公共点的个数；
（Ⅲ）求证：$\frac{1095}{1000}＜\root{10}{e}＜\frac{3000}{2699}$．（参考数据：ln1.1≈0.0953）

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a＞0时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f （x）的极值；
（Ⅱ）当a在R上变化时，讨论函数f （x）与g （x）的图象公共点的个数，即讨论h（x）=g（x）-f（x）的零点的个数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得出结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a=1时，g（x）＞f（x）对x＞0恒成立，即e^x＞1+ln（x+1），令$x=\frac{1}{10}$；当a=-1时，g（x）＞f（x）对x＜0恒成立，即${e^x}＞\frac{1}{3}{x^3}+x+1$，令$x=-\frac{1}{10}$，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：当x≥0时，a＞0，$f'（x）=\frac{a}{x+1}＞0$，f（x）在[0，+∞）递增
当x＜0时，f′（x）=x²-a，$x∈（-\sqrt{a}，0），f'（x）＜0$，f （x）递减，$x∈（-∞，-\sqrt{a}），f'（x）＞0$，f （x）递增；
故f（x）在$（-∞，-\sqrt{a}）$，[0，+∞）递增，$（-\sqrt{a}，0）$递减，（不必说明连续性）
故${[f（x）]_{极小值}}=f（0）=0，{[f（x）]_{极大值}}=f（-\sqrt{a}）=\frac{2}{3}a\sqrt{a}$． （4分）
（Ⅱ）解：即讨论h（x）=g（x）-f（x）的零点的个数，h（0）=0，故必有一个零点为x=0．
①当x＞0时，h（x）=g（x）-f（x）=e^x-1-aln（x+1），$h'（x）={e^x}-\frac{a}{x+1}$
（ⅰ）若a≤1，则$\frac{a}{x+1}＜1＜{e^x}$，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，故此时h（x）在（0，+∞）无零点；（5分）
（ⅱ）若a＞1，$h'（x）={e^x}-\frac{a}{x+1}$在（0，+∞）递增，h′（x）＞h′（0）=1-a，1-a＜0
且x→+∞时，h′（x）→+∞，则?x₀∈（0，+∞）使h'（x₀）=0
进而h（x）在（0，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，h（x₀）＜h（0）=0，由指数、对数函数的增长率知，x→+∞时，h（x）→+∞，h（x）在（x₀，+∞）上有一个零点，在（0，x₀]无零点，故h（x）在（0，+∞）有一个零点（7分）
②当x＜0时，$h（x）=g（x）-f（x）={e^x}-1-\frac{1}{3}{x^3}+ax$h'（x）=e^x-x²+a，
设θ（x）=h′（x），θ′（x）=e^x-2x＞0对x＜0恒成立，
故h′（x）=e^x-x²+a在（-∞，0）递增，h′（x）＜h′（0）=1+a，且x→-∞时，h′（x）→-∞；
（ⅰ）若1+a≤0，即a≤-1，则h′（x）＜h′（0）=1+a≤0，故h（x）在（-∞，0）递减，所以h（x）＞h（0）=0，h（x）在（-∞，0）无零点； （8分）
（ⅱ）若1+a＞0，即a＞-1，则?x₀∈（-∞，0）使h′（x₀）=0，
进而h（x）在（-∞，x₀）递减，在（x₀，0）递增，h（x₀）＜h（0）=0
且x→-∞时，$h（x）=（{e^x}-1）-\frac{1}{3}x（{x^2}-3a）→+∞$，h（x）在（-∞，x₀）上有一个零点，在[x₀，0）无零点，故h（x）在（-∞，0）有一个零点 （10分）
综合①②，当a≤-1时有一个公共点；当-1＜a≤1时有两个公共点；当a＞1时有三个公共点（11分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a=1时，g（x）＞f（x）对x＞0恒成立，即e^x＞1+ln（x+1）
令$x=\frac{1}{10}$，则${e^{\frac{1}{10}}}＞1+ln1.1≈1.0953＞\frac{1095}{1000}$（12分）
由（Ⅱ）知，当a=-1时，g（x）＞f（x）对x＜0恒成立，即${e^x}＞\frac{1}{3}{x^3}+x+1$
令$x=-\frac{1}{10}$，则${e^{-\frac{1}{10}}}＞\frac{1}{3}{（-\frac{1}{10}）^3}-\frac{1}{10}+1=\frac{2699}{3000}$，故有$\frac{1095}{1000}＜\root{10}{e}＜\frac{3000}{2699}$（14分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．