Question

17．已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为$\sqrt{2}$-1，离心率为e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点（1，0）作斜率为k的直线l交E于A、P两点，点B是点A关于直线x轴的对称点，求证直线BP过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和椭圆上的点到焦点距离的最小值为a-c，结合椭圆的a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（2）设直线l的方程为l：y=k（x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理，结合直线的斜率公式和直线恒过定点的求法，化简整理计算即可得到．

解答 解：（1）由题意可得a-c=$\sqrt{2}$-1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）证明：设直线l的方程为l：y=k（x-1），
与$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1联立并消去y得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由A关于x轴的对称点为B，
得B（x₁，-y₁），
直线BP的斜率为$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{k（{x}_{2}+{x}_{1}-2）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
直线BP：y+y₁=$\frac{k（{x}_{2}+{x}_{1}-2）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
即有y+k（x₁-1）=$\frac{k（{x}_{2}+{x}_{1}-2）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
即（x₂-x₁）y+2kx₁x₂-k（x₁+x₂）=k（x₁+x₂-2）x，
即有（x₂-x₁）y=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$（2-x），
令x=2，则y=0，
则直线BP过定点，且定点的坐标为（2，0）．

点评 本题考查椭圆方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线恒过定点的求法，属于中档题．