Question

5．设函数f（x）=x³+3ax²+3bx有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，求解面积即可；

解答 解：函数f（x）=x³+3ax²+3bx，可得f′（x）=3x²+6ax+3b，
依题意知，方程f′（x）=0有两个根x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]
等价于f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，
f′（2）≥0．
由此得b，c满足的约束条件为$\left\{\begin{array}{l}b≥2a-1\\ b≤0\\ b≤-2a-1\\ b≥-4a-4\end{array}\right.$，
满足这些条件的点（a，b）的区域为图中阴影部分．
阴影部分的面积为：$\frac{1+\frac{1}{2}}{2}×2-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=1．
故选：D．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，是中档题．