Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出椭圆的标准方程，将P（2，1）代入椭圆方程，利用离心率，构造方程组，从而求得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程与椭圆C联立，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用弦长公式求出AB，P到AB的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∵椭圆C经过点P（2，1），离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1\\ \frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=8\\{b}^{2}=2\end{array}\right.$，∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率存在时，直线l，y=kx．
设直线l与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\\ y=kx\end{array}\right.$，可得 （4k²+1）x²=8，x₁+x₂=0，x₁x₂=$\frac{-8}{1+4{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{32}{1+4{k}^{2}}}$，
P到AB 的距离为：d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{32}{1+4{k}^{2}}}×\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$2\sqrt{\frac{2（2k-1）^{2}}{1+4{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-4k+1}{1+4{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}×$$\sqrt{1-\frac{4}{\frac{1}{k}+4k}}$，
∵$\frac{1}{\left|k\right|}+4\left|k\right|≥4$，当且仅当|k|=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴2$\sqrt{2}×$$\sqrt{1-\frac{4}{\frac{1}{k}+4k}}$=2$\sqrt{2}×\sqrt{1+\frac{4}{-\frac{1}{k}-4k}}$≤$2\sqrt{2}×\sqrt{1+1}$=4，此时k=-$\frac{1}{2}$．
△PAB面积的最大值为：4．

点评 本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．