Question

14．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一焦点F在抛物线y²=4x的准线上，且点M（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过直线x=-2上一点P作椭圆E的切线，切点为Q，证明：PF⊥QF．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线方程求出其准线，确定焦点的坐标，然后求出椭圆中的c，再根据M点在椭圆上，求出椭圆方程；
（2）设出PQ直线方程，然后与椭圆方程联立，根据△=0，求出P、Q坐标，然后证明平面向量的数量积为0，即表示PF⊥QF．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）抛物线y²=4x的准线为x=-1，则F（-1，0），c=1．…（2分）
又M（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆上，则$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2（{a}^{2}-1）}=1$，解得a²=2，…（4分）
故椭E的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）设P（-2，y₀）、Q（x₁，y₁）．
依题意可知切线PQ的斜率存在，设为k，PQ：y=kx+m，并代入方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$中，
整理得：（2k²+1）x²+4mkx+2（m²-1）=0…（8分）
因△=16m²k²-8（2k²+1）（m²-1）=0，即m²=2k²+1．…（9分）
从而${x}_{1}=-\frac{2mk}{2{k}^{2}+1}$，${y}_{1}=\frac{m}{2{k}^{2}+1}$所以Q（-$\frac{2mk}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{2{k}^{2}+1}$）；…（10分）
又y₀=-2k+m，则P（-2，-2k+m），$\overrightarrow{PF}$=（1，2k-m）$\overrightarrow{QF}$=（$\frac{2mk}{2{k}^{2}+1}$-1，-$\frac{m}{2{k}^{2}+1}$）．…（11分）
由于$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{QF}$=$\frac{2mk}{2{k}^{2}+1}$-1-$\frac{m（2k-m）}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{{m}^{2}}{2{k}^{2}+1}-1=0$，故PF⊥QF．…（13分）

点评 本题考查了椭圆和抛物线的标准方程，同时与平面向量的知识结合考查学生的运算能力，本题对学生的计算能力要求较高．