Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，M为椭圆上任意一点且△MF₁F₂的周长等于6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）以M为圆心，MF₁为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF₁F₂面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据△MF₁F₂的周长等于6，再由离心率为$\frac{1}{2}$可求出a的值，进而得到b的值，写出椭圆方程．
（2）先设M的坐标为（x₀，y₀）根据题意满足椭圆方程，利用圆M与l有公共点可得到M到l的距离4-x₀小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y₀²+10x₀-15≥0，再由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$即可消去y₀，求出x₀的取值范围，再表示出△MF₁F₂面积即可求出最大值．

解答 解：（1）因为椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，M为椭圆上任意一点且△MF₁F₂的周长等于6．
所以c=1，a=2．所以b²=3．
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设点M的坐标为（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$．
由于直线l的方程为x=4，圆M与l有公共点，
所以M到l的距离4-x₀小于或等于圆的半径R．
因为R²=MF₁²=（x₀+1）²+y₀²，
所以（4-x₀）²≤（x₀+1）²+y₀²，
即y₀²+10x₀-15≥0．
又因为$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，
所以3-$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{4}$+10x₀-15≥0．解得$\frac{4}{3}≤{x}_{0}≤12$．
又-2＜x₀＜2，则$\frac{4}{3}≤{x}_{0}＜2$，所以0＜|y₀|≤$\frac{\sqrt{15}}{3}$
因为△MF₁F₂面积为$\frac{1}{2}$|y₀||F₁F₂|=|y₀|，
所以当|y₀|=$\frac{\sqrt{15}}{3}$时，△MF₁F₂面积有最大值$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，
要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习．