Question

10．国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：

空气质量等级	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
AQI值范围	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）	[200，300）	300及以上

下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：

西部城市	AQI数值	东部城市	AQI数值
西安	108	北京	104
西宁	92	金门	42
克拉玛依	37	上海	x
鄂尔多斯	56	苏州	114
巴彦淖尔	61	天津	105
库尔勒	456	石家庄	93
AQI平均值：135		AQI平均值：90

（Ⅰ） 求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；
（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据AQI的平均数及其它几个城市的AQI值即可求出x，带入方差公式即可求出并比较出东西部城市AQI数值的方差；
（Ⅱ）根据古典概型的求概率方法求出随机变量ξ分别取1，2，3时的概率，从而列出其分布列，带入数学期望公式即可求出其数学期望．

解答 解：（Ⅰ）x=82，${{S}^{2}}_{东部}＜{{S}^{2}}_{西部}$；
（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个；
根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3；
P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{4}}^{1}{{C}_{2}}^{2}}{{{C}_{6}}^{3}}=\frac{1}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{{C}_{4}}^{2}{{C}_{2}}^{1}}{{{C}_{6}}^{3}}=\frac{3}{5}$，P（ξ=3）=$\frac{{{C}_{4}}^{3}{{C}_{2}}^{0}}{{{C}_{6}}^{3}}=\frac{1}{5}$；
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

所以E（ξ）=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}=2$．

点评 考查对数据平均值的理解，方差的概念及计算方差的公式，古典概型的概率求解，以及组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念，数学期望的概念及求解公式．