已知抛物线x2=4y的焦点为F．(1)已知x轴上一点E.若线段EF的中点在抛物线上.求点E的坐标,(2)直线l过点F.与抛物线交于A.B两点.且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$.求直线l的斜率,(3)若M.N为抛物线上任意两点.且以MN为直径的圆过原点O.求证:直线MN经过定点.并写出这个定点的坐标,(4)过抛物线上一点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．已知抛物线x²=4y的焦点为F．
（1）已知x轴上一点E，若线段EF的中点在抛物线上，求点E的坐标；
（2）直线l过点F，与抛物线交于A、B两点，且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求直线l的斜率；
（3）若M、N为抛物线上任意两点，且以MN为直径的圆过原点O，求证：直线MN经过定点，并写出这个定点的坐标；
（4）过抛物线上一点P（-4，4）作两条关于直线y=4对称的直线分别交抛物线于C、D两点，求直线CD的斜率；
（5）若斜率为2的直线与抛物线交于G、H两点，求线段GH的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．

分析（1）设出E点坐标，再设出EF中点坐标，由中点坐标公式把中点坐标用E的坐标表示，代入抛物线方程求得E的坐标；
（2）设出直线l的方程为y=kx+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，求出两交点坐标，结合$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求得k的值；
（3）设M（s，$\frac{1}{4}{s}^{2}$），N（t，$\frac{1}{4}{t}^{2}$），由OM⊥ON，得到st=-16，由两点求斜率得到直线MN的斜率为$\frac{\frac{1}{4}（{t}^{2}-{s}^{2}）}{t-s}=\frac{1}{4}（s+t）$，化简得到$y=\frac{1}{4}（s+t）x+4$，由此可说明直线必过（0，4）点；
（4）设PC所在直线方程为y-4=k（x+4），则PD所在直线方程为y-4=-k（x+4），分别联立两直线方程与抛物线方程，求出C，D坐标，由斜率公式即可求得直线CD的斜率；
（5）设G、H所在直线方程为y=2x+b，联立直线方程和抛物线方程，由判别式大于0求出b的范围，由根与系数关系求得GH中点坐标，得到线段GH的垂直平分线方程，取x=0，可得线段GH的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．

解答（1）解：由x²=4y，得F（0，1），设E（m，0），EF中点为（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{0+m=2x}\\{1+0=2y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，代入x²=4y，得$\frac{{m}^{2}}{4}=4×\frac{1}{2}$，解得：m=$±2\sqrt{2}$．
∴E（$±2\sqrt{2}，0$）；
（2）解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{{x}_{2}=2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{{x}_{2}=2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$．
由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，得（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1）=（2x₂，2y₂-2），即-x₁=2x₂．
把x₁，x₂分别代入-x₁=2x₂．解得：k=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）证明：∵M、N为抛物线上任意两点，∴设M（s，$\frac{1}{4}{s}^{2}$），N（t，$\frac{1}{4}{t}^{2}$），
∵OM⊥ON，∴$st+\frac{{s}^{2}{t}^{2}}{16}=0$，即st=-16，
直线MN的斜率为$\frac{\frac{1}{4}（{t}^{2}-{s}^{2}）}{t-s}=\frac{1}{4}（s+t）$，
∴直线MN利用点斜式方程为y-$\frac{1}{4}{s}^{2}=\frac{1}{4}（s+t）（x-s）$，化简得到$y=\frac{1}{4}（s+t）x+4$．
∴直线必过（0，4）点；
（4）解：设PC所在直线方程为y-4=k（x+4），则PD所在直线方程为y-4=-k（x+4），
再设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4k+4}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得：x²-4kx-16k-16=0，
由x₃-4=4k，得x₃=4k+4，则${y}_{3}=4{k}^{2}+8k+4$；
同理求得x₄=-4k+4，${y}_{4}=4{k}^{2}-8k+4$．
则${k}_{CD}=\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}=\frac{16k}{8k}=2$；
（5）设G、H所在直线方程为y=2x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-8x-4b=0．
由△=（-8）²+16b＞0，得b＞-4．
再设C（x₅，y₅），H（x₆，y₆），
则x₅+x₆=8，∴G，H中点横坐标为4，纵坐标为8+b，
则线段GH的垂直平分线方程为y-8-b=$-\frac{1}{2}$（x-4），
取x=0，得y=10+b，
∵b＞-4，∴y＞6．
则线段GH的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围是（6，+∞）．

点评本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．

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