Question

8．已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2，点M、N分别为A′B，B′C′的中点．
（1）求证：MN∥平面A′ACC′；
（2）求三棱锥C-MNB的体积．

Answer 1

分析 （1）设A′B′的中点为E，连接EM，EN，利用三角形的中位线，得出线线平行，用面面平行判定定理即可得到面EMN∥面ACC′A′，即可得到线面平行；
（2）利用等体积转换，可得结论．

解答 （1）证明：设A′B′的中点为E，连接EM，EN，
∵点M，N分别为A′B和B′C′的中点，
∴NE∥A′C′，ME∥AA′，
又∵A′C′?平面ACC′A′，AA′?平面ACC′A′，
∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′，
∵NE∩ME=E，
∴面EMN∥面ACC′A′，
∵MN?面EMN，
∴MN∥面ACC′A′； 
（2）解：由题意，∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2，∴BC=2$\sqrt{2}$，
∴A到BC的距离为$\sqrt{2}$，
∴三棱锥C-MNB的体积=三棱锥M-CNB的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4×\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{3}$

点评 本题考查了面面平行平行的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．