Question

13．已知曲线C₁的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），且离心率等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，曲线C₂的方程为x²+y²=8，若曲线C₁与C₂的四个交点围成面积为16的矩形．
（1）求曲线C₁的标准方程；
（2）若曲线C₁上总存在关于直线l：y=x+m对称的两点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设交点为（x，y），由题意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2b，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得x²+4y²=4b²①，又x²+y²=8②，2x•2y=16③，解方程组，即可求曲线C₁的标准方程；
（2）根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x₀，y₀）在直线y=x+m上，故可设直线AB的方程为y=-x+b，联立方程，结合方程的根与系数关系可求中点M，由△＞0可求b的范围，由中点M在直线y=x+m可得b，m的关系，从而可求m的范围．

解答 解：（1）设交点为（x，y），则
由题意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2b，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得x²+4y²=4b²①，
又x²+y²=8②，2x•2y=16③，
∴由①②③可得x=y=2，b=$\sqrt{5}$，
∴曲线C₁的标准方程$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）设椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$上存在关于直线y=x+m对称的两点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x₀，y₀）在直线y=x+m上，且K_AB=-1
故可设直线AB的方程为y=-x+b
联立方程，整理可得5x²-8bx+4b²-20=0
∴x₁+x₂=$\frac{8b}{5}$，y₁+y₂=2b-（x₁+x₂）=$\frac{2b}{5}$
由△=64b²-20（4b²-20）＞0可得-5＜b＜5
∴x₀=$\frac{4b}{5}$，y₀=$\frac{b}{5}$
∵AB的中点在直线y=x+m上
∴$\frac{b}{5}=\frac{4b}{5}+m$，
∴m=-$\frac{3b}{5}$
∴-3＜m＜3．

点评 本题主要考查椭圆的方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是灵活应用已知中的对称性设出直线方程，且由中点在y=x+m上建立m，b之间的关系，还要注意方程的根与系数的关系的应用．