Question

19．已知函数f（x）=（2x-4a）lnx+x，a＞0
（Ⅰ）求函数g（x）=xf（x）的单调区间；
（Ⅱ）若?x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，对a讨论，①若0＜a＜$\frac{1}{e}$，②若a=$\frac{1}{e}$，③若a＞$\frac{1}{e}$，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，得减区间；
（Ⅱ）运用不等式恒成立的思想，对a讨论，求出f（x）的最小值即可得到a的范围．

解答 解：（1）g′（x）=$\frac{1}{x}$（2x²-4ax）+lnx（4x-4a）+2x
=4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）．
①若0＜a＜$\frac{1}{e}$，当x∈（0，a），x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（a，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是（0，a），（$\frac{1}{e}$，+∞）；单调递减区间是（a $\frac{1}{e}$）．
②若a=$\frac{1}{e}$，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③若a＞$\frac{1}{e}$，当x∈（0，$\frac{1}{e}$），x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（$\frac{1}{e}$，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{e}$），（a，+∞）；
单调递减区间是（$\frac{1}{e}$，a）
（Ⅱ）因为x≥1，（2x²-4ax）lnx+x²＞0对x≥1恒成立，
由（Ⅰ）可知，当0＜a≤$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，则f（x）_min=f（1）＞0，成立，
故0＜a≤$\frac{1}{e}$．
当$\frac{1}{e}$＜a≤1，则f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（1）=1＞0恒成立，符合要求．
当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，则
f（x）_min=f（a）＞0，即（2a²-4a²）lna+a²＞0，1＜a＜$\sqrt{e}$．
综上所述，0＜a＜$\sqrt{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和单调性的判断，同时考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．