Question

4．已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．
（Ⅰ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（Ⅱ）若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据古典概型的概率公式即可求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（Ⅱ）求出随机变量的概率，即可求出对应的分布列和期望．

解答 解：（I） 3名学生选择的选修课所有不同选法有4³=64种； …（2分）
各人互不相同的选法有${A}_{4}^{3}=24$种，互不相同的概率：${P}_{1}=\frac{{A}_{4}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{24}{64}=\frac{3}{8}$； …（4分）
（II） 选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1，2，3，…（5分）
P（x=0）=$\frac{{3}^{2}}{{4}^{2}}$=$\frac{9}{16}$，P（x=1）=$\frac{3}{{4}^{2}}$=$\frac{3}{16}$  P（x=2）=$\frac{3}{{4}^{2}}$=$\frac{3}{16}$，P（x=3）=$\frac{1}{{4}^{2}}$=$\frac{1}{16}$，…（9分）
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

…（10分）
数学期望EX=0×$\frac{9}{16}$+1×$\frac{3}{16}$+2×$\frac{3}{16}$+3×$\frac{1}{16}$=$\frac{3}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查古典概率的计算以及随机变量的分布列和期望的计算，考查学生的计算能力．