Question

12．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到两个定点F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0）的距离的和为定值4．
（1）求点P运动所成轨迹C的方程；
（2）设O为坐标原点，若点A在轨迹C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x²+y²=2的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出a²与b²的值，即可确定出椭圆C的方程；
（2）设出点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OA⊥OB得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x²+y²=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x²+y²=2相切．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵动点P到两点F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0）的距离之和为4，
∴由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0）为焦点，以4为长轴的椭圆，
∵c=$\sqrt{2}$，a=2，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（4分）
（2）直线AB与圆x²+y²=2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即tx₀+2y₀=0，解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
当x₀=t时，y0=-$\frac{{t}^{2}}{2}$，代入椭圆C的方程，得t=±$\sqrt{2}$，．
故直线AB的方程为x=±$\sqrt{2}$，圆心O到直线AB的距离d=$\sqrt{2}$．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．
当x₀≠t时，直线AB的方程为y-2=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-t}$（x-t），
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圆心O到直线AB的距离d=$\frac{|2{x}_{0}-t{y}_{0}|}{\sqrt{（{{y}_{0}-2）}^{2}+（{{x}_{0}-t）}^{2}}}$．
又${x}_{0}^{2}+{2y}_{0}^{2}=4$，t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
故d=$\frac{|2{x}_{0}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}+4}}$=$\frac{|\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{4}+8{{x}_{0}}^{2}+16}{2{{x}_{0}}^{2}}}}$=$\sqrt{2}$．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．

点评 此题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点，属于中档题．