Question

17．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁D₁的中点，点P在侧面BCC₁B₁上运动．现有下列命题：
①若点P总保持PA⊥BD₁，则动点P的轨迹所在曲线是直线；
②若点P到点A的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则动点P的轨迹所在曲线是圆；
③若P满足∠MAP=∠MAC₁，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P到直线BC与直线C₁D₁的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线；
⑤若P到直线AD与直线CC₁的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝．
其中真命题是①②④（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 由BD₁⊥面AB₁C，可得P在面AB₁C和面BCC₁B₁的交线上判断①正确；由平面截球面轨迹是圆判断②正确；利用平面截圆锥侧面可得P点轨迹所在曲线是双曲线的一支，说明③错误；由双曲线定义说明④正确；建立空间坐标系，由|PF|=|PG|列式求出动点P的轨迹说明⑤错误．

解答 解：对于①，∵BD₁⊥面AB₁C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B₁C，①正确；
对于②，满足到点A的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC₁ 的点P应为以AM为轴，以AC₁ 为母线的圆锥，平面BB₁C₁C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB₁C₁C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；
对于④，P到直线C₁D₁ 的距离，即到点C₁的距离与到直线BC的距离比为2：1，
∴动点P的轨迹所在曲线是以C₁ 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；
对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC₁，连接PF，
设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得$\sqrt{1+{y}^{2}}=|x|$，即x²-y²=1，
∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．