Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）且离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆方程；
（2）过点B（-1，0）作直线l，使l与椭圆C交M、N两点，且OM⊥ON，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出椭圆的标准方程，将A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程，利用离心率，构造方程组，从而求得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设过点A（0，1）的直线l与椭圆C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直线代入椭圆的方程，再利用韦达定理求得 x₁+x₂ 和x₁•x₂．根据OM⊥ON，即$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，求得k的值．根可得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∵椭圆C经过点A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{{4b}^{2}}=1\\ \frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=4\\{b}^{2}=1\end{array}\right.$∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率存在，过点B（-1，0）的直线l，y=k（x+1）．
设直线l与椭圆C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=kx+k\end{array}\right.$，可得 （4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
∵OM⊥ON，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，
即 x₁•x₂+y₁•y₂=0，即（1+k²）x₁•x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0，
即 （1+k²）（$-\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）+k²（×$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$）+k²=0，解得k=±$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故直线l的方程为：y=±$\frac{\sqrt{21}}{7}$（x+1），即$\sqrt{21}$x-7y+$\sqrt{21}$=0，或$\sqrt{21}$x+7y-$\sqrt{21}$=0．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的Z综合应用，属于中档题．