Question

7．自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．
经调查发现，堵车概率x在（$\frac{2}{3}$，1）上变化，y在（0，$\frac{1}{2}$）上变化．
在不堵车的情况下．走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．

堵车时间（单位：小时）	频数
[0，1]	8
（1，2]	6
（2，3]	38
（3，4]	24
（4，5]	24
（表2）

	CD段	EF段	GH段
堵车概率	x	y	$\frac{1}{4}$
平均堵车时间 （单位：小时）	a	2	1
（表1）

（1）求CD段平均堵车时间a的值．
（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．
（3）在（2）的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X，求X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）用每一段的时间的平均值乘以对应的概率，即为所求．
（2）先求出走线路甲所花汽油费的期望Eξ，再求出走乙线路多花汽油费的数学期望为Eη．择走甲线路应满足E（545+η）-Eξ≥0，结合x、y的范围，利用几何概型求出选择走甲线路的概率．
（4）用人数乘以选择走甲线路的概率，即为所求．

解答 解：（1）$a=0.5×\frac{8}{100}+1.5×\frac{6}{100}+2.5×\frac{38}{100}+3.5×\frac{24}{100}+4.5×\frac{24}{100}=3$．
（2）设走线路甲所花汽油费为ξ元，则Eξ=500（1-x）+（500+60）x=500+60x，
设走乙线路多花的汽油费为η元，∵EF段、GH段堵车与否相互独立，
∴$P（η=0）=（1-y）（1-\frac{1}{4}）$，$P（η=20）=（1-y）\frac{1}{4}$，
$P（η=40）=y（1-\frac{1}{4}）$，$P（η=60）=\frac{1}{4}y$，∴Eη=40y+5，
∴走乙线路所花汽油费的数学期望为E（545+η）=545+Eη=550+40y，
依题意选择走甲线路应满足（550+40y）-（500+60x）≥0，
$6x-4y-5≤0，又\frac{2}{3}＜x＜1，0＜y＜\frac{1}{2}$，
选择走甲线路的概率为图中阴影部分的面积与整个矩形面积之比，
即矩形的面积减去小直角三角形的面积的差除以矩形面积，
∴P（走路甲）=$\frac{7}{8}$，
（3）二项分布EX=4×$\frac{7}{8}$=3.5．

点评 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，几何概型的应用，属于中档题．