Question

15．（1）f（x）=axe^x（a≠0），试讨论f（x）的单调性；
（2）求y=x-lnx的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，对a讨论，a＞0，a＜0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）求出导数，注意函数的定义域，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答 解：（1）f（x）=axe^x（a≠0）的导数为f′（x）=a（x+1）e^x，
当a＞0时，若x＞-1，则f′（x）＞0，f（x）递增，若x＜-1，则f′（x）＜0，f（x）递减，
当a＜0时，若x＞-1，则f′（x）＜0，f（x）递减，若x＜-1，则f′（x）＞0，f（x）递增．
综上可得，a＞0时，f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增；
a＜0时，f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，+∞）递减．
（2）y=x-lnx（x＞0）的导数为y′=1-$\frac{1}{x}$，
令y′＞0，解得x＞1，令y′＜0，解得0＜x＜1．
则有函数的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，注意函数的定义域，正确求导和分类讨论是解题的关键．