Question

4．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．

Answer 1

分析 （1）BC⊥AC，CD⊥BC．推出DE⊥平面ACD，然后证明平面ADE⊥平面ACD．
（2）通过V_C-ADE=V_E-ACD，求出棱锥的体积的最大值，求解底面面积，设点C到平面ADE的距离为h，利用体积公式求出距离即可，

解答 （1）∵AB是直径，∴BC⊥AC，…（1分），
又四边形DCBE为矩形，CD⊥DE，BC∥DE，∴CD⊥BC．
∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD，
∴DE⊥平面ACD                        …（4分）
又DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD              …（6分）
（2）解：由（1）知V_C-ADE=V_E-ACD=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AC×CD×DE$
=$\frac{1}{6}×AC×BC$$≤\frac{1}{12}×（{AC}^{2}+{BC}^{2}）$=$\frac{1}{12}×{AB}^{2}=\frac{4}{3}$，…（8分），
当且仅当AC=BC=2$\sqrt{2}$时等号成立                     …（9分），
∴当AC=BC=2$\sqrt{2}$三棱锥C-ADE体积最大为：$\frac{4}{3}$       …（10分），
此时，AD=$\sqrt{1+（2\sqrt{2}）^{2}}=3$，${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}×AD×DE=3\sqrt{2}$，
设点C到平面ADE的距离为h，则${V}_{C-ADE}=\frac{1}{3}×{S}_{△ADE}×h=\frac{4}{3}$
∴h=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$                                 …（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，基本不等式在最值中的应用，考查在与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．