Question

13．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{6}$，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，M，N分别为BC和PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）求点B到平面AND的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，由题意和面面垂直的判定定理可得；
（Ⅱ）取AB中点E，连结NE，由V_N-ABD=V_B-AND和三棱锥的体积公式可得距离d的方程，解方程可得．

解答 解：（Ⅰ）证明：连结AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∵M是BC中点，∴AM⊥BC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，在平面PMA中AM∩PA=A，∴BC⊥平面PMA
∴平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）取AB中点E，连结NE，则NE∥PA，∴NE⊥平面ABCD，$NE=\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
过点E作AD的垂线，交DA延长线于点F，连结NF，易知NF⊥DA，
在Rt△EFA中，AE=1，∠EAF=60°，∴$EF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
在Rt△NEF中，$NE=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，EF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，∠NEF=90°$，∴$NF=\frac{3}{2}$
∴${S_{△AND}}=\frac{1}{2}AD•NF=\frac{1}{2}•2•\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•ADsin∠BAD=\sqrt{3}$
设点B到平面AND的距离为d，由V_N-ABD=V_B-AND，
得$\frac{1}{3}•NE•{S_{△ABD}}=\frac{1}{3}•d•{S_{△AND}}$，即$\frac{{\sqrt{6}}}{2}•\sqrt{3}=d•\frac{3}{2}$，∴$d=\sqrt{2}$
∴点B到平面AND的距离为$\sqrt{2}$

点评 本题考查立体几何的综合问题，涉及平行和垂直关系以及空间距离的求解，属中档题．