Question

8．如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD； 
（2）求点D到平面PAM的距离．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；
（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P-ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由V_D-PAC=V_P-ACD可得h的方程，解方程可得．

解答 解：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，
∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC?平面POC，OP?平面POC，
∴AD⊥平面POC，又PC?平面POC，∴PC⊥AD．
（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，
由（1）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P-ACD的体高．
在Rt△POC中，$PO=OC=\sqrt{3}$，$PC=\sqrt{6}$，
在△PAC中，PA=AC=2，$PC=\sqrt{6}$，边PC上的高AM=$\sqrt{P{A^2}-P{M^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
∴△PAC的面积${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}PC•AM=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{{\sqrt{10}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，
设点D到平面PAC的距离为h，由V_D-PAC=V_P-ACD得$\frac{1}{3}{S_{△PAC}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•PO$，
又${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，∴$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{2}•h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
解得$h=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，∴点D到平面PAM的距离为$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．

点评 本题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题．