Question

16．某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并得到如下资料：

日期	3月1日	3月2日	3月3日	3月4日	3月5日
温差x （度）	10	11	13	12	9
发芽数y（颗）	15	16	17	14	13

参考数据$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=832，}\sum_{i=1}^5{x_i^2=615，}$，其中$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}；a=\overline y-b\overline x$
（1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数）
（2）从3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望和方差．

Answer 1

分析 （1）由公式求出b，a，可得线性回归方程，从而预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数；
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，即可求其数学期望和方差．

解答 解：（1）由公式可得b=0.7，a=7.3
所以所求的线性回归方程为：$\widehaty=0.7x+7.3$…（6分）
当x=11时，y=15，即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗．
（2）X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$
其分布列为：

X	0	1	2
p	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

所以：EX=1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$，DX=（0-$\frac{6}{5}$）²×$\frac{1}{10}$+（1-$\frac{6}{5}$）²×$\frac{3}{5}$+（2-$\frac{6}{5}$）²×$\frac{3}{10}$=$\frac{9}{25}$…（12分）

点评 本题考查线性回归方程的计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了分析解决问题的能力，属于中档题．