Question

1．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BC、A₁D₁的中点，求AD和平面B₁EDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 首先以D为原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后可确定一些点的坐标，设平面B₁EDF的法向量为$\overrightarrow{n}$，而根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$．设直线AD和平面B₁EDF所成角为θ，根据sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}＞|$即可求出sinθ．

解答 解：如图，分别以边DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则：
D（0，0，0），E（1，2，0），F（1，0，2），A（2，0，0）；
∴$\overrightarrow{DE}=（1，2，0），\overrightarrow{DF}=（1，0，2）$，$\overrightarrow{DA}=（2，0，0）$；
设平面B₁EDF的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DF}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{x+2z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{z=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，取x=1，∴$\overrightarrow{n}=（1，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$；
若设直线AD和平面B₁EDF所成角为θ，则：
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DA}|}=\frac{2}{2•\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
∴直线AD和平面B₁EDF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的方法，能确定空间点的坐标，以及平面法向量的概念，向量夹角余弦的坐标公式，弄清直线和法向量所成角与直线和平面所成角的关系．