Question

13．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．
（1）求证：AC=2AB；
（2）求AD•DE的值．

Answer 1

分析 （1）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=2AB；
（2）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值．

解答 （1）证明：∵PA是圆O的切线∴∠PAB=∠ACB又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP…（2分）
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{PB}$=2，
∴AC=2AB…（4分）
（2）解：由切割线定理得：PA²=PB•PC，∴PC=20
又PB=5，∴BC=15…（6分）
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}$=2，
∴CD=2DB，
∴CD=10，DB=5…（8分）
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50…（10分）

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于基础题．