Question

11．已知函数f（x）=e^x-x，其中e为自然底数．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数F（x）=f（x）-ax²-1的导函数F'（x）在[0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）求证：$f（\frac{1}{2}）$+$f（\frac{1}{3}）$+$f（\frac{1}{4}）$+…+$f（\frac{1}{n+1}）$＞n+$\frac{n}{4（n+2）}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导函数的符号，判断单调性求解极值即可．
（2）通过导函数的单调性求解极值，通过恒成立，求出a的范围．
（3）由（2）可知，g（0）=0，且当$a=\frac{1}{2}$时，g（x）在[0，+∞）上是增函数，利用F（x）在[0，+∞）是增函数，得到$f（x）≥\frac{1}{2}{x^2}+1$（x∈[0，+∞））依次令$x=\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}，…，\frac{1}{n+1}$，求出函数值，利用累加推出结果即可．

解答 （本小题满分13分）
解：（1）f′（x）=e^x-1令f′（x）=e^x-1=0解之得x=0…（1分）
当x变化时f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

∴f（x）在R上有极小值，f（x）_极小值=f（0）=1．…（3分）
（2）F′（x）=f′（x）-2ax=e^x-2ax-1，令g（x）=F′（x）
由于F′（x）在[0，+∞）上是增函数，故g′（x）=e^x-2a≥0…（5分）
从而$a≤\frac{1}{2}{e^x}$在x∈[0，+∞）上恒成立，
∴$a≤\frac{1}{2}$…（7分）
（3）由（2）可知，g（0）=0，且当$a=\frac{1}{2}$时，g（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴当x∈[0，+∞）时，g（x）≥g（0）=0，
即F′（x）≥F′（0）=0，
∴F（x）在[0，+∞）是增函数        …（9分）
又由于F（0）=0，∴F（x）≥0（x∈[0，+∞））
即$f（x）≥\frac{1}{2}{x^2}+1$（x∈[0，+∞））
依次令$x=\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}，…，\frac{1}{n+1}$，
可得$f（\frac{1}{2}）≥\frac{1}{2}{（\frac{1}{2}）^2}+1$，$f（\frac{1}{3}）≥\frac{1}{2}{（\frac{1}{3}）^2}+1$，$f（\frac{1}{4}）≥\frac{1}{2}{（\frac{1}{4}）^2}+1$，…，$f（\frac{1}{n+1}）≥\frac{1}{2}{（\frac{1}{n+1}）^2}+1$…（11分）
累加得：$f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+f（\frac{1}{4}）+…+f（\frac{1}{n+1}）$
$≥\frac{1}{2}[{（\frac{1}{2}）}^{2}+{（\frac{1}{3}）}^{2}+{（\frac{1}{4}）}^{2}+…+{（\frac{1}{n+1}）}^{2}]+n$
$＞\frac{1}{2}[\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{（n+1）×（n+2）}]+n$$＞\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]+n$
$＞\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）+n＞n+\frac{n}{4（n+2）}（n∈{N}^{*}）$
∴$f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+f（\frac{1}{4}）+…+f（\frac{1}{n+1}）＞n+\frac{n}{4（n+2）}$…（13分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，累加法的应用，考查分析问题解决问题的能力．