Question

16．已知数列{a_n}（n∈N^*，1≤n≤46）满足a₁=a，a_n+1-a_n=$\left\{{\begin{array}{l}{d，1≤n≤15}\\{1，16≤n≤30}\\{\frac{1}{d}，31≤n≤45}\end{array}}$其中d≠0，n∈N^*．
（1）当a=1时，求a₄₆关于d的表达式，并求a₄₆的取值范围；
（2）设集合M={b|b=a_i+a_j+a_k，i，j，k∈N^*，1≤i＜j＜k≤16}．若a=$\frac{1}{3}$，d=$\frac{1}{4}$，求证：2∈M．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系，进行递推即可，求a₄₆关于d的表达式，并求a₄₆的取值范围；
（2）根据数列的递推关系求出b的表达式，即可证明结论．

解答 解：（1）当a=1时，a₁₆=1+15d，a₃₁=16+15d，${a_{46}}=16+15（d+\frac{1}{d}）$．
因为d≠0，$d+\frac{1}{d}≥2$，或$d+\frac{1}{d}≤-2$，
所以a₄₆∈（-∞，-14]∪[46，+∞）．
（2）由题意${a_n}=\frac{1}{3}+\frac{n-1}{4}$，1≤n≤16，$b=1+\frac{i+j+k-3}{4}$．
令$1+\frac{i+j+k-3}{4}=2$，得i+j+k=7．
因为i，j，k∈N^*，1≤i＜j＜k≤16，
所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．

点评 本题主要考查递推数列的应用，考查学生运算和推理能力，有一定的难度．