Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{{1+a{x^2}}}$，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=-$\frac{1}{4}$时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对任意的x，都有-m≤f（x）≤m成立；
（Ⅲ）当a=2时，是否存在实数k，使得关于x的方程f（x）=k（x-a）仅有负实数解？当a=-$\frac{1}{2}$时的情形又如何？（只需写出结论）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=-$\frac{1}{4}$时的f（x）解析式和导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程，进而得到切线方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，讨论x＜1，x＞1，f（x）的取值范围，记M=max{|f（x₁）|，f（x₂）|}，即可得到存在实数m∈[M+∞），使得成立；
（Ⅲ）当a=-$\frac{1}{2}$与a=2时，不存在实数k，使得关于x的方程仅有负数解．

解答 解：（Ⅰ）当a=-$\frac{1}{4}$时，f（x）=$\frac{1-x}{1-\frac{1}{4}{x}^{2}}$，
导数f′（x）=$\frac{1}{4}$•$\frac{-（x-1）^{2}-3}{（1-\frac{1}{4}{x}^{2}）^{2}}$，
即有f′（1）=-$\frac{4}{3}$，f（1）=0，
则f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-$\frac{4}{3}$（x-1），
即为4x+3y-4=0；
（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）=$\frac{1-x}{{1+a{x^2}}}$的定义域为R，
f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，
f′（x）=0，可得x₁=1-$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$＜0，x₂=1+$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$＞1，
当x＜x₁，x＞x₂时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）递减．
又f（1）=0，当x＜1时，f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＜0，
当x≤1时，0≤f（x）≤f（x₁），当x＞1时，f（x₂）≤f（x）＜0，
记M=max{|f（x₁）|，f（x₂）|}，
综上，a＞0时，存在实数m∈[M+∞），使得对任意的x，都有-m≤f（x）≤m成立；
（Ⅲ）当a=-$\frac{1}{2}$与a=2时，不存在实数k，使得关于x的方程仅有负数解．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查存在性问题的解法，考查运算能力，正确求导是解题的关键．