Question

1．数列{a_n-b_n}为等比数列，公比q＞0，首项为1，数列{b_n}的前n项和S_n，若S_n=$\frac{n}{2（n+2）}$（n∈N₊），a₃=$\frac{81}{20}$．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用S_n=$\frac{n}{2（n+2）}$，当n=1时，b₁=$\frac{1}{6}$．当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）由a₁-b₁=1，a₃-b₃=4，可得q，可得a_n=$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）+{2}^{n-1}$，再利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{n}{2（n+2）}$，
∴当n=1时，b₁=$\frac{1}{6}$．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2（n+2）}-\frac{n-1}{2（n+1）}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，当n=1时上式也成立，
∴b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$．
（2）∵a₁-b₁=1，a₃-b₃=$\frac{81}{20}-\frac{1}{4×5}$=4，
∴4=1×q²，q＞0，解得q=2．
∴a_n-b_n=2^n-1．
∴${a}_{n}={b}_{n}+{2}^{n-1}$=$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）+{2}^{n-1}$，
∴数列{a_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$+2ⁿ-1
=${2}^{n}-\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．