Question

13．已知数列{a_n}的前项n和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数f（x）=3x²-2x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}，{T_n}$是数列{b_n}的前n项和，求使得2T_n≤λ-2015对所有n∈N^*都成立的实数λ的范围．

Answer 1

分析 （1）利用点（n，S_n）在函数f（x）=3x²-2x的图象上，得到${S_n}=3{n^2}-2n$，求出首项，判断数列是等差数列，然后求解通项公式．
（2）利用裂项消项法求出数列的和，然后结合不等式求出λ≥2016即可．

解答 解：（1）∵点（n，S）在函数f（x）=3x²-2x的图象上，∴${S_n}=3{n^2}-2n$
当n=1时，a₁=S₁=3-2=1…（2分）
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（3{n^2}-2n）-[{3{{（n-1）}^2}-2（n-1）}]$=6n-5…（5分）
当n=1时，6n-1=1符合∴${a_n}=6n-5（n∈{N^*}）$…（6分）
（2）∵${b}_{n}=\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{3}{（6n-5）[6（n+1）-5]}=\frac{1}{2}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{7}}）+（{\frac{1}{7}+\frac{1}{13}}）+…+（{\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}}）}]$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{6n+1}}）$…（10分）
∴2T_n＜1
又∵2T_n≤λ-2015对所有n∈N^*都成立∴1≤λ-2015
故λ≥2016…（12分）

点评 本题考查等差数列的判定，数列求和的方法，数列与函数相结合，以及不等式的应用，考查计算能力．