Question

5．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥{x}^{2}}\\{x-y+2≥0}\end{array}\right.$，则z=x+y的取值范围是（　　）

• A． （0，6）
• B． [-$\frac{1}{4}$，6]
• C． [-$\frac{1}{4}$，0]
• D． [$\frac{3}{4}$，6]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移从而求出z的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+y得y=-x+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y=-x+z，即直线y=-x+z经过点A时，截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
则z=2+4=6．
当直线y=-x+z与y=x²相切时，直线的截距最小，此时z最小，
函数y=x²的导数f′（x）=2x，
由2x=-1，解得x=$-\frac{1}{2}$，此时y=$\frac{1}{4}$，即切点坐标为（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
则z=$-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{1}{4}$≤z≤6，
故z的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，6]，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线和抛物线的相切，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．综合性较强，涉及的知识点较多．