Question

16．在边长为2的等边△ABC中，点D满足$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，点E满足$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AC}$，λ∈[0，1]，则$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$的取值范围为[$\frac{23}{16}$，3]．

Answer 1

分析 由题意得，$\overrightarrow{AE}$ 和$\overrightarrow{AB}$的夹角为60°，根据的向量的几何意义得到$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$的表达式，求出最值，即得取值范围．

解答 解：由题意得，$\overrightarrow{AE}$ 和$\overrightarrow{AB}$的夹角为60°，D是AB的中点，设|$\overrightarrow{AE}$|=x，
∴$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AE}$）=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AD}$-${\overrightarrow{AE}}^{2}$=2-x-$\frac{x}{2}$-x²=x²-$\frac{3}{2}$x+2．
由于E为线段AC上一动点，故 0≤x≤2，
令f（x）=x²-$\frac{3}{2}$x+2=${（x-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{23}{16}$，
∴当x=$\frac{3}{4}$时，f（x）取得最小值为$\frac{23}{16}$；当x=2时，f（x）_max=3，
∴$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$的取值范围是[$\frac{23}{16}$，3]，
故答案为：[$\frac{23}{16}$，3]．

点评 本题题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．