Question

4．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，M为AB的中点，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：PM⊥BC．
（Ⅱ）若PD=1，求点D到平面PAB的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点O，连接PO，OM，DM，证明BC⊥平面POM，可得PM⊥BC．
（Ⅱ）若PD=1，利用V_P-ABD=V_D-PAB，可求点D到平面PAB的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取AD中点O，连接PO，OM，DM，
由已知得PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥BC，
∵∠DAB=60°，AB=2AD，
∴△ADM是正三角形，
∴OM⊥AD，OM∥BD，OM=$\frac{1}{2}$BD，
∴OM⊥BC
∵PO∩OM=O，
∴BC⊥平面POM，
∵PM?平面POM，
∴PM⊥BC．
（Ⅱ）解：∵PD=1，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD=2，
∴△ABD是直角三角形，BD⊥AD，
∴BD=$\sqrt{3}$，
∵PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_P-ABO=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PO$=$\frac{1}{4}$
设点D到平面P取AB的距离为h，
由BD⊥AD，BD⊥PO，
∴BD⊥平面ABD，
∴BD⊥PD，
∴△PBD是直角三角形，
∴PB=2，
在△PBD中，PA=1，AB=PB=2，
∴△PBD是等腰三角形，
∴S_△PAB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴由V_P-ABD=V_D-PAB，可得$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{15}}{4}h$=$\frac{1}{4}$，
∴h=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴点D到平面PAB的距离为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直，考查点D到平面PAB的距离的计算，正确运用线面垂直的判定，利用等体积是关键．