Question

9．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB=AD，PD⊥底面ABCD，
（Ⅰ）证明：PB⊥AC；
（Ⅱ）若PD=BD=2AC，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过PD⊥底面ABCD即ABCD是平行四边形且AB=AD可得AC⊥BD，利用线面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）作AE⊥PB，连结CE，通过△ABP≌△CBP可得∠AEC是二面角A-PB-C的平面角，连结BD，交AC于点O，再连结OE，利用二倍角的余弦公式计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，
∵ABCD是平行四边形，且AB=AD，
∴ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，∴AC⊥PB；
（Ⅱ）解：作AE⊥PB，连结CE，
∵△ABP≌△CBP，∴CE⊥PB，
即∠AEC是二面角A-PB-C的平面角，
连结BD，交AC于点O，再连结OE，
由题易知∠AEC=2∠AEO，
不妨设AC=2，则PD=BD=2AC=4，
∴PB=$4\sqrt{2}$，
∵△PBD∽△OBE，∴$\frac{PB}{OB}=\frac{PD}{OE}$，∴OE=$\sqrt{2}$，
∴sin∠AEO=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠AEC=1-2sin²∠AEO=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定定理，二面角的计算，二倍角的余弦公式，注意解题方法的积累，属于中档题．