Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，以原点O为圆心，b为半径的圆与直线x-y+2=0相切，P为椭圆C上的动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若$\frac{|OP|}{|OM|}$=λ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ＜1），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么函数．

Answer 1

分析 （1）圆的方程为：x²+y²=b²，圆心到直线x-y+2=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$=b，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出；
（2）设M（x，y），可设P（x，y′），x∈$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$，由$\frac{|OP|}{|OM|}$=λ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ＜1），可得$\frac{{x}^{2}+（{y}^{′}）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}={λ}^{2}$，而$（{y}^{′}）^{2}=2（1-\frac{{x}^{2}}{3}）$，代入化简整理可得：（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，$（-\sqrt{3}≤x≤\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}≤λ＜1）$，对λ分类讨论即可得出．

解答 解：（1）圆的方程为：x²+y²=b²，圆心到直线x-y+2=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$=b，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，解得$a=\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设M（x，y），可设P（x，y′），x∈$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$，
∵$\frac{|OP|}{|OM|}$=λ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ＜1），
∴$\frac{{x}^{2}+（{y}^{′}）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}={λ}^{2}$，
而$（{y}^{′}）^{2}=2（1-\frac{{x}^{2}}{3}）$，
∴$\frac{{x}^{2}+6}{3{x}^{2}+3{y}^{2}}={λ}^{2}$，整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，$（-\sqrt{3}≤x≤\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}≤λ＜1）$，
（i）当$λ=\frac{\sqrt{3}}{3}$时，点M的轨迹方程为：y²=6，即y=$±\sqrt{6}$，$（-\sqrt{3}≤x≤\sqrt{3}）$，其轨迹是两条平行直线；
（ii）当$\frac{\sqrt{3}}{3}＜λ＜1$时，点M的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{6}{3{λ}^{2}-1}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{{λ}^{2}}}$，
∵0＜3λ³-1＜3λ²，
∴轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆，满足$-\sqrt{3}≤x≤\sqrt{3}$的部分．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式公式、两点之间的距离公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．