Question

7．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=$\sqrt{7}$，b=3，$\sqrt{7}$sinB+sinA=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ） 求角A 的大小；
（Ⅱ） 求△ABC 的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理求得 $\sqrt{7}$sinB=3sinA，再根据$\sqrt{7}$sinB+sinA=2$\sqrt{3}$，求得sinA的值，可得角A 的值．
（Ⅱ） 锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA，计算求得结果．

解答 解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得$\frac{\sqrt{7}}{sinA}$=$\frac{3}{sinB}$，∴$\sqrt{7}$sinB=3sinA，
再根据$\sqrt{7}$sinB+sinA=2$\sqrt{3}$，求得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴角A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ） 锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a²=7=c²+9-6c•cos$\frac{π}{3}$，解得c=1 或c=2．
当c=1时，cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．
当c=2时，△ABC 的面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$•3•2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．