Question

2．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$mx³+（4+m）x²，g（x）=aln（x-1），其中a≠0．
（I）若函数y=g（x）图象恒过定点A，且点A关于直线x=$\frac{3}{2}$的对称点在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x+1），讨论F（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出g（x）图象恒过定点A的坐标，再求出点A的对称点，代入求出m的值；
（Ⅱ）求出函数F（x）的导函数，再分类讨论得到函数的单调性．

解答 解：（Ⅰ）令ln（x-1）=0，得x=2，
∴点P关于直线x=$\frac{3}{2}$的对称点（1，0），
∴f（1）=0，$\frac{1}{3}$m+4+m=0，m=-3．
（II）F（x）=f′（x）+g（x+1）mx²+2（4+m）x+8lnx，（x＞0）．
∴F′（x）=2mx+（8+2m）x+$\frac{8}{x}$=$\frac{2m{x}^{2}+（8+2m）+8}{x}$=$\frac{（2mx+8）（x+1）}{x}$，
∵x＞0，∴x+1＞0，
∴当m≥0时，8+2mx＞0，F′（x）＞0，此时，F（x）在（0，+∞）上是增函数，
当m＜0时，由F′（x）＞0得0＜x＜-$\frac{4}{m}$，由F′（x）＜0得x＞-$\frac{4}{m}$，
此时，F（x）在（0，-$\frac{4}{m}$）上是增函数，在（-$\frac{4}{m}$，+∞）上是减函数，
综上所述，m≥0时，8+2mx＞0，F′（x）＞0，此时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，当m＜0时，由F′（x）＞0得0＜x＜-$\frac{4}{m}$，由F′（x）＜0得x＞-$\frac{4}{m}$，
此时，F（x）在（0，-$\frac{4}{m}$）上是增函数，在（-$\frac{4}{m}$，+∞）上是减函数

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及分类讨论的思，培养了学生得运算能力，属于中档题．