Question

11．已知定义在R上的单调函数f（x）满足：对任意的x，都有f（f（x）-2^x）=6，则不等式f（x+2）≥3f（-x）的解集为（　　）

• A． [log₂$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （-∞，log₂$\frac{3}{2}$]
• C． [log₂5，+∞）
• D． （-∞，log₂5]

Answer 1

分析 由条件求得函数的解析式为f（x）=2^x +2，再利用指数函数的单调性解不等式求得f（x+2）≥3f（-x）的解集．

解答 解：由f（f（x）-2^x）=6，可得f（x）-2^x 为定值，设f（x）-2^x =m，即f（x）=2^x +m，
再根据f（m）=2^m +m=6，求得m=2，故f（x）=2^x +2．
不等式f（x+2）≥3f（-x），即  2^x+2 +2≥3（ 2^-x +2 ），∴2^x≥$\frac{3}{2}$，或2^x≤-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴x≥log₂$\frac{3}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查求函数的解析式，函数的单调性的性质，解指数不等式，属于基础题．