Question

9．已知f（x）=lnx-x²+x+2，g（x）=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，（m∈R），讨论f（x）与g（x）交点的个数．

Answer 1

分析 讨论函数f（x）与g（x）图象交点的个数，即讨论方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的个数，该方程为lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx，只需讨论方程 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+m在（0，+∞）上根的个数．

解答 解：讨论函数f（x）与g（x）图象交点的个数，即讨论方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的个数．
该方程为lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx．
只需讨论方程$\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+m在（0，+∞）上根的个数，
令u（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），v（x）=x²-2ex+m．
因u（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），u′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令u′（x）=0，得x=e，
当x＞e时，u′（x）＜0；当0＜x＜e时，u′（x）＞0，∴u（x）_max=u（e）=$\frac{1}{e}$，
当x→0⁺时，u（x）=$\frac{lnx}{x}$→-∞； 当x→+∞时，$\frac{lnx}{x}$→0，但此时u（x）＞0，且以x轴为渐近线．
如图构造u（x）=$\frac{lnx}{x}$的图象，并作出函数v（x）=x²-2ex+m的图象：
①当m-e²＞$\frac{1}{e}$，即m＞e²+$\frac{1}{e}$时，方程无根，没有公共点；
②当m-e²=$\frac{1}{e}$，即m=e²+$\frac{1}{e}$时，方程只有一个根，有一个公共点；
③当m-e²＜$\frac{1}{e}$，即m＜e²+$\frac{1}{e}$时，方程有两个根，有两个公共点．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数图象的交点，考查数形结合的数学思想，综合性强，难度大．