Question

6．过原点的直线l与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-$\sqrt{3}$，0）是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，$\overrightarrow{FA}$$•\overrightarrow{FB}$=0．则双曲线C的方程=$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 设|FB|=x，则|FA|=4-x，利用勾股定理，建立方程，求出|FB|=2+$\sqrt{2}$，|FA|=2-$\sqrt{2}$，可得a，b，即可得出结论．

解答 解：设|FB|=x，则|FA|=4-x，
∵过原点的直线l与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-$\sqrt{3}$，0）是双曲线C的左焦点，
∴|AB|=2$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{FA}$$•\overrightarrow{FB}$=0，
∴x²+（4-x）²=12，
∴x²-4x+2=0，
∴x=2±$\sqrt{2}$，
∴|FB|=2+$\sqrt{2}$，|FA|=2-$\sqrt{2}$，
∴2a=|FB|-|FA|=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1$．

点评 本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．